Στοιχειώδης Άλγεβρα

Στοιχειώδης Άλγεβρα Συγγραφέας: Σπυρίδων Μάναρης

Βιβλίο σε μορφή pdf

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ

---

ΕΙΣΑΓΩΓΗ.

§ 1. Ὅλα τὰ ἀριθμητικὰ ζητήματα διακρίνονται εἰς δύο ἀρχικὰ εἴδη, Θεωρήματα καὶ Προβλήματα. Καὶ θεώρημα μὲν λέγεται τὸ ζήτημα, ὁσάκις πρόκειται ν’ἀποδειχθῇ ἡ ὕπαρξις τῶν εἰς γνωστοὺς καὶ δεδομένους ἀριθμοὺς ἀναφερομένων ἰδιοτήτων. Πρόβλημα δὲ, ὁσάκις προτίθεται νὰ προσδιορισθῶσιν ἄγνωστοι ἀριθμοί, ἔχοντες σχέσεις γνωστὰς πρὸς ἄλλους γνωστοὺς καὶ δεδομένους.

Ἡ Ἄλγεβρα ἀντικείμενον ἔχουσα τὴν ἐπίλυσιν τῶν ζητημάτων ταύτων μεταχειρίζεται ἴδια σημεῖα, ἐπιτήδεια πρὸς γενικὴν καὶ σύντομον παράστασιν τῶν ποσοτήτων καὶ τῶν ἐπ’ αὐτῶν ἀναγκαίων ὑπολογισμῶν.

§ 2. Ἐκ τῶν σημείων τούτων κυριώτερα μὲν εἶναι τὰ ἐξῆς δέκα,

α.΄ Τὰ γράμματα τοῦ ἀλφαβήτου, τὰ ὁποῖα χρησιμεύουσι πρὸς παράστασιν τῶν ἀριθμῶν, ἐπὶ τῶν ὁποίων συλλογιζόμεθα· εἶναι δὲ ἀναγκαῖα, ἐπειδὴ δι’ αὐτῶν συντέμνομεν καὶ γενικεύομεν τοὺς συλλογισμούς, καὶ ἑπομένως ποριζόμεθα συνεπείας γενικὰς δυναμένας νὰ ἐφαρμοσθῶσιν έπὶ πάντων τῶν ὁμοειδῶν ζητημάτων. Καὶ τῷ ὄντι διὰ τῆς χρήσεως τῶν γραμμάτων μανθάνομεν ὅτι, ἐπὶ μὲν τῶν θεωρημάτων, ἰδιότης τις ἀνήκει ἐπίσης εἰς πολλοὺς ἀριθμούς· ἐπὶ δὲ τῶν προβλημάτων, ὅτι ὁ τρόπος τῆς λύσεώς των εἶναι ἀνεξάρτητος πάσης μερικῆς τιμῆς, ἥτις δίδεται εἰς τοὺς περιεχομένους εἰς τὴν ἐκφώνησίν των άριθμούς.

β.΄ Τὸ σημεῖον τῆς προσθέσεως +, τὸ ὁποῖον ἐκφέρεται πλέον, οὕτως α+β ἀπαγγέλλεται α πλέον β, φανερόνει δὲ ὅτι ὁ διὰ τοῦ β σημειωμένος ἀριθμὸς προστίθεται εἰς τὸν ὑπὸ τοῦ α παριστανόμενον, ἢ ἐμφαίνει τὸ ἄθροισμα τῶν δύο ἀριθμῶν α καὶ β.

γ.´ Τὸ σημεῖον τῆς Ἀφαιρέσεως —, τὸ οποῖον ἐκφέρεται μεῖον καὶ γραφόμενον μεταξὺ δύο ἀριθμῶν δεικνύει, ὅτι ὁ δεύτερος ἀφαιρεῖται ἀπὸ τὸν πρῶτον· οὕτως α—β ἀπαγγέλλεται α μεῖον β, καὶ φανερόνει ὅτι ἀπὸ τὸν ἀριθμὸν α ἀφαιρεῖται ὁ ἀριθμὸς β, ἢ προσέτι τὴν διαφορὰν τῶν δύο ἀριθμῶν α καὶ β.

δ.´ Τὸ σημεῖον τοῦ πολλαπλασιασμοῦ ×, ἢ μία στιγμῆ ., τὸ ὁποῖον ἐκφέρεται ἐπί, τίθεται δὲ μεταξὺ τῶν παραγόντων· οὕτως 5×6 ἢ 5.6 ἐκφωνεῖται 5 ἐπὶ 6, καὶ φανερόνει ὅτι ὁ ἀριθμὸς 5 πολλαπλασιάζεται ἐπὶ 6 ὡσαύτως α×β ἢ α.β ἐκφωνεῖται α ἐπὶ β, καὶ φανερόνει, ὅτι ὁ ἀριθμὸς α πολλαπλασιάζεται ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν β, ἢ τὸ γινόμενον τῶν δύο ἀριθμῶν α καὶ β.

Ὅταν οἱ ἀριθμοὶ παριστάνωνται διὰ γραμμάτων, κατὰ συνθήκην παραλείπεται τὸ σημεῖον, παριστάνεται δὲ τὸ γινόμενον, γραφομένου τοῦ ἑνὸς παράγοντος πλησίον τοῦ αλλου· οὕτως αβ εἶναι τὸ αὐτὸ ὡς α×β, καὶ αβγ εἶναι τὸ αὐτὸ ὡς α×β×γ.

Ἐννοεῖται εὐκόλως, ὅτι ἡ συνθήκη αὕτη δὲν ἔχει χώραν καὶ ἐπὶ τῶν δι’ Ἀραβικῶν ψηφίων σημειωμένων παραγόντων, διότι τότε τὸ γινόμενον αὐτῶν συγχέεται μὲ ἄλλον ἀριθμὸν τοῦ δεκαδικού συστήματος· οὕτω τὸ γινόμενον 5×6 ἤτοι 30 συγχέεται μὲ τὸν ἀριθμὸν 56.

ε.΄ Τὸ σημεῖον τῆς διαιρέσεως εἶναι δύο στιγμαὶ :, καὶ τίθεται μεταξύ τοῦ διαιρετέου καὶ διαιρέτου, ἢ μία γραμμὴ —, ἄνω τῆς ὁποίας γράφεται ὁ διαιρετέος καὶ κάτω ὁ διαιρέτης, ἐκφέρεται δὲ διά. Οὕτως α : β ἢ ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$ ἀπαγγέλλεται α διὰ β, σημαίνει δὲ ὅτι ὁ ἀριθμὸς α διαιρεῖται διὰ τοῦ β, ἢ τὸ πηλίκον τῆς διαιρέσεως τοῦ α διὰ β. Ἡ σημείωσις ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$ εἶναι εὐχρηστοτέρα.

ς.´ Ὁ Συντελεστής, ὅςτις εἶναι σημεῖον συντμητικὸν τῆς διαδοχικῆς προσθέσεως. Οὕτως ὅταν γενικός τις ἀριθμὸς μέλλῃ νὰ προστεθῃ εἰς ἑαυτὸν πολλάκις, γράφεται ἀπαξ μόνον, πρὸ αὐτοῦ δὲ τίθεται μερικὸς ἀριθμὸς ἔχων τόσας μονάδας, ὁσάκις ὁ προτεθεὶς ἀριθμὸς λαμβάνεται ὡς προσθετέος π. χ. ἀντὶ τοῦ α+α+α+α γράφομεν 4α, παρομοίως διὰ τοῦ 5αβ ἐκφράζομεν συντομώτερον τὴν διαδοχικὴν πρόσθεσην αβ+αβ+αβ+αβ+αβ. Ὁ εἰς τ’ ἀριστερὰ γραφόμενος ἀριθμὸς λέγεται συντελεστής.

ζ.´ Ὁ ἐκθέτης, ὅστις εἶναι σημεῖον, διὰ τοῦ ὁποίου συντέμνεται ὁ διαδοχικὸς πολλαπλασιασμός. Οὕτως ὅταν γενικός τις ἀριθμὸς μέλλῃ νὰ πολλαπλασιαθῇ ἐφ’ ἐαυτὸν διαδοχικῶς, γράφεται ἅπαξ μόνον, καὶ εἰς τὰ δεξιὰ καὶ ολίγον ἄνω τούτου τίθεται μερικὸς ἀριθμὸς ἔχων τόσας μονάδας, ὁσάκις ὁ προτεθεὶς ἀριθμὸς λαμβάνεται ὡς παράγων· π.χ. ἀντὶ τού α×α×α×α ἢ αααα γράφομεν ἁπλούστερον α⁴. Ὡσαύτως β⁵ εἶναι τὸ αὐτὸ ὡς β×β×β×β×β. Ὁ ἐπὶ τοῦ γράμματος γραφόμενος ἀριθμὸς ὀνομάζεται ἐκθέτης.

Τὸ γινόμενον ἀριθμοῦ τινὸς πολλάκις ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθέντος, ἢ τὸ γινόμενον πολλῶν ἴσων παραγόντων, λέγεται δύναμις. Βαθμὸς δὲ δυνάμεως, ὁ ἀριθμὸς τῶν παραγόντων· οὕτω 4 λέγεται δευτέρα δύναμις τοῦ 2 διότι εἶναι τὸ γινόμενον τοῦ 2 ἐπὶ 2· και 8 εἶναι ἡ τρίτη δύναμις τοῦ 2, διότι ἰσοδυναμεῖ με 2×2×2· ὡσαύτως δὲ οἱ ἀριθμοὶ 9, 27, 81 εἶναι δυνάμεις τοῦ 3,

ὁ μὲν	9.	β.΄	βαθμοῦ,	διότι	ἰσοῦται	με	3×3,
ὁ δὲ	27.	γ.΄	”	”	”	”	3×3×3,
ὁ δὲ	81.	δ.΄	”	”	”	”	3×3×3×3.

Ἐν γένει αα ἢ α² εἶναι δευτέρα δύναμις τοῦ α,
καὶ ααα ἢ α³ εἶναι τρίτη δύναμις τοῦ α.

η.΄ Ῥίζα ἀριθμοῦ τινὸς καλεῖται ἄλλος τις ἀριθμός, ὅςτις πολλαπλασιασθεὶς πολλάκις ἐφ’ ἑαυτὸν παράγει τὸν προτεθέντα· βαθμὸς δὲ ῥίζης εἶναι ὁ ἀριμὸς, ὅςτις δεικνύει ποσάκις λαμβάνεται ὡς παράγων, ἵνα παράξῃ τὸν προτεθέντα ἀριθμόν. π.χ. 5 εἶναι δευτέρα ῥίζα τοῦ 25, καὶ 3 εἶναι τρίτη ῥίζα τοῦ 27· διότι 5×5=25 και 3×3×3=27.

Ἵνα σημειώσωμεν δέ, ὅτι ζητεῖται ἡ ῥίζα ἀριθμοῦ τινός, μεταχειριζόμεθα τὸ σημεῖον ${\sqrt {\ \ \ }}$, τὸ ὁποῖον λέγεται ῥιζικόν. Καὶ ὁ μὲν ἀριθμός, τοῦ ὁποῖου ζητεῖται ἡ ῥίζα τίθεται ὑπὸ τὸ ῥιζικὸν σημεῖον καὶ λέγεται ποσότης ὑπόῤῥιζος, ἄνω δὲ τοῦ ῥιζικοῦ τίθεται ἀριθμός. ὅςτις δεινύει τὸν βαθμὸν τῆς ῥίζης, καὶ λέγεται δείκτης. Οὕτω ${\sqrt[{2}]{36}}$ παριστάνει τὴν δευτέραν ῥίζαν τοῦ 36, καὶ ${\sqrt[{3}]{64}}$ τὴν τρίην ῥίζαν τοῦ 64. Παρομοίως ${\sqrt[{2}]{\alpha }}$ παριστάνει τὴν δευτέραν ῥίζαν τοῦ α. Σημειωτέον δέ, ὅτι ὁ δείκτης 2 τῆς δευτέρας ῥίζης παραλείπεται.

Ἡ μὲν δευτέρα δύναμις άριθμοῦ τινὸς λέγεται καὶ τετράγωνον αὐτοῦ, ἡ δὲ τρίτη κυβική. Τὰ ὀνόματα ταῦτα ἐλήφθησαν ἐκ τῆς Γεωμετρίας, ὡς ὑπαρχούσης ἀναλογίας ματεξὺ τῶν δυνάμεωντούτων καὶ τῶν ὁμωνύμων γεωμετρικῶν σχημάτων. θ.´ Τὸ σημεῖον τῆς ἰσότητος =, διὰ τοῦ ὁποίου φανερόνομεν, ὅτι δύο ποσότητες εἶναι ἴσαι, προφέρεται δὲ ἴσον.

Οὕτως ἵνα σημειώσωμεν, ὅτι ἡ διαφορὰ τοῦ 36 πρὸς τὸν 25 εἶναι ἴση μὲ 11 γράφομεν 36—25=11. ὡσαύτως, ἵνα παραστήσωμεν, ὅτι τὸ ἄθροισμα δύο ἀριθμῶν α καὶ β εἶναι ἴσον μὲ τρίτον τινὰ ἀριθμὸν, γ, γράφομεν α+β=γ.

ι.´ Τὸ σημεῖον τῆς ἀνισότητος > ἢ < διὰ τοῦ ὁποίου σημειοῦμεν, ὅτι ποσότης τις εἶναι μεγαλητέρα ἢ μικροτέρα ἄλλης τινός‧ καὶ ἡ μὲν μεγαλητέρα ποσότης τίθεται ἐντὸς τῆς γωνίας, ἡ δὲ μικροτέρα ἐκτὸς αὐτῆς. Οὕτως α>β παριστάνει ὅτι α εἶναι μεῖζον τοῦ β, ἐξ ἐναντίας α<β φανερόνει ὅτι α εἶναι ἔλασσον τοῦ β.

Ἀπὸ τὰ ἀνωτέρω ἐκτεθέντα βλέπομεν, ὅτι δυνάμεθα νὰ θεωρήσωμεν τὴν Ἄλγεβραν ὡς εἶδός τι γλώσσης συνισταμένης ἐκ διαφόρων σημείων, διὰ τῶν ὁποίων ἀκολουθοῦμεν μὲ περισσοτέραν εὐκολίαν τὸν σύνδεσμον τῶν ἰδεῶν εἰς τοὺς συλλογισμούς, τοὺς ὁποίους πρέπει νὰ κάμωμεν εἴτε πρὸς ἀπόδειξιν τῶν θεωρημάτων, εἴτε πρὸς λύσιν τῶν προβλημάτων.

Ἐφαρμογαί.

§ 3. Ἵνα δείξωμεν τὴν ἐκ τῆς χρήσεως τῶν ἀλγεβρικῶν σημείων ὠφέλειαν ἂς λάβωμεν πρὸς ἐφαρμογὴν τὰ εξῆς ζητήματα.

Πρόβλημα Α.΄ Δοθέντος τοῦ ἀθροίσματος δύο ἀριθμῶν καὶ τῆς διαφορᾶς αὐτῶν, νὰ εὕρωμεν τοὺς δύο ἀριθμούς.

Λῦσις μερική. Ἔστω τὸ ἄθροισμα τῶν δύο ἀριθμῶν 67 καὶ ἡ διαφορὰ αὐτῶν 19. Ποῖοι εἶναι οἱ δύο ἀριθμοί;

Ἀς προσπαθήσωμεν κατὰ πρῶτον νὰ συνδέσωμεν διὰ τῶν σημφωνηθέντων σημείων τοὺς γνωστοὺς ἀριθμοὺς μὲ τοὺς αγνώστους, δηλ. νὰ παραστήσωμεν ἀλγεβρικῶς τὰς μεταξὺ αὐτῶν σχέσεις, κατὰ τὴν ἐκφώνησιν τοῦ προβλήματος. Πρὸς τοῦτο ἰδοὺ πὼς συλλογιζόμεθα.

Ἐὰν ἦτο γνωστὸς ὁ μικρότερος τῶν δύο ζητουμένων ἀριθμῶν, ἠθέλαμεν ἔχει τὸν μεγαλήτερον προσθέτοντες 19 εἰς τὸν μικρὸτερον. Τούτου τεθέντος ἂς σημειώσωμεν διὰ χ τὸν μικρότερον· ὁ μεγαλήτερος τότε θέλει σημειωθῇ διὰ χ+19. Τὸ ἄθροισμα αὐτῶν λοιπὸν εἶναι χ+χ+19 ἢ 2χ+19, ἀλλὰ κατὰ τὴν ἐκφώνησιν τὸ ἄθροισμα τοῦτο ἰσοῦται μὲ 67, ἔχομεν λοιπὸν τὴν ισότητα

2χ+19=67

Ὅθεν έὰν 2χ ηὐξημένον κατὰ 19 δίδῃ 67, ἕπεται ὅτι 2χ μόνον εἶναι ἴσον μὲ 67 μεῖον 19, ἢ 2χ=67-19, ἢ 2χ=48· λοιπὸν χ ἰσοῦται μὲ τὸ ἥμισυ τοῦ 48 τουτέστι χ= ${\tfrac {48}{2}}$ =24. Ὄντως δὲ τοῦ μικροτέρου 24, ὁ μεγαλήτερος εἶναι 24+19 ἢ 43.

Τῳ ὄντι 43+24=67, καὶ 43—24=19.

Πίναξ τῶν ἀλγεβρικῶν πράξεων.

Ἔστω ὁ μικρότερος ἀριθμὸς.................................................................................................................................................................................................................................................... ὁ μεγαλήτερος θέλει εἶσθαι.................................................................................................................................................................................................................................................... τὸ ἄθροισμα αὐτῶν ἰσοῦται μὲ τὸ ὅλον.................................................................................................................................................................................................................................................... ἑπομένως.................................................................................................................................................................................................................................................... λοιπὸν.................................................................................................................................................................................................................................................... καὶ....................................................................................................................................................................................................................................................

χ χ+19 2χ+19=67 2χ=67-19=48 χ= ${\tfrac {48}{2}}$ =24 χ+19=24+19=43

ΣΗΜ. Ὁ μαθητὴς δύναται νὰ λύσῃ τὸ αὐτὸ πρόβλημα σημειῶν διὰ χ τὸν μεγαλήτερον ἀριθμόν, ἑπομένως διὰ χ—19 τὸν μικρότερον.

§ 4.Γενικὴ λύσις. Τὸ ἄθροισμα δύο ἀριθμῶν εἶναι α, ἡ δὲ διαφορὰ αὐτῶμ, β, ζητοῦνται οἱ δύο ἀριθμοί.

Τὸ πρόβλημα τοῦτο δυνατὸν νὰ λυθῇ καὶ διὰ μόνου τοῦ συλλογισμοῦ ἐκτεθειμένου εἰς κοινὴν γλῶσσαν, ἀλλ’ ἵνα ἴδωμεν τῆν συντομίαν καὶ τὴν ἁπλότητα τῆς ἀλγεβρικῆς γλώσσης, ἀντιπαραθέτομεν τὴν σειρὰν τῶν εἰς τὴν λύσιν αὐτοῦ συλλογισμῶν ἐκτεθειμένων εἰς κοινὴν γλῶσαν μὲ τὴν ἀντίστοιχον ἀλγεβρικὴν σημείωσιν.

ὁ μικρότερος ἀριθμός.................................................................................................................................................................................................................................................... ὁ μεγαλήτερος ἰσοῦται με τον μικρότερον πλέον τὴν διαφοράν.................................................................................................................................................................................................................................................... ὁ μικρότερος πλέον ὁ μεγαλήτερος ἰσοῦται μὲ τὸ δοθὲν ἄθροισμα,.................................................................................................................................................................................................................................................... ἢ ὁ μικρότερος πλέον ὁ μικρότερος πλέον ἡ διαφορά ισοῦται μεὲ τὸ ἄθροισμα.................................................................................................................................................................................................................................................... ἢ δὶς ὁ μικρότερος πλέον ἡ διαφορά ισοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα.................................................................................................................................................................................................................................................... ἑπομένως δὶς ὁ μικρότερος ισοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα μεῖον ἡ διαφορά.................................................................................................................................................................................................................................................... καὶ ἅπαξ ὁ μικρότερος ἰσοῦται μὲ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀθροίσματος μεῖον τὸ ἥμισυ τῆς διαφορᾶς....................................................................................................................................................................................................................................................

χ χ+β χ+χ+β=α 2χ+β=α 2χ=α-β χ = ${\tfrac {\alpha -\beta }{2}}$=${\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}$

ἑπομένως γίνεται γνωστὸς καὶ ὁ μεγαλήτερος

χ+β=${\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}$+β=${\tfrac {\alpha }{2}}$+${\tfrac {\beta }{2}}$