Σελίδα:Στοιχειώδης άλγεβρα - Μανάρης Σπυρίδων.pdf/124

116

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΣΗΜ. Ἡ παρατήρησις αὔτη εἶναι ἀπαραιτήτως ἀναγκαία διὰ τὴν ἐπίλυσιν τῆς δευτεροβάθμιας ἐξισώσεως.

Βʹ. Τριώνυμόν τι διατεταγμένον δὲν εἶναι τέλειον τετράγωνον, ἐὰν οἱ εἰς τὰ δύο ἄκρα ὅροι δὲν ἦναι τετράγωνα, καὶ ἑπομένως θετικοί, καὶ ἐάν ὁ μέσος ὅρος δὲν ἦναι τὸ διπλάσιον γινόμενον τῶν ῥιζῶν τῶν δύο ἄλλων.

Ὅθεν ἡ ῥίζα τοῦ τριωνύμου δύναται νὰ ληφθῇ ἀμέσως, ἐξαγωμένων τῶν ριζῶν τῶν δύο ἄκρων, καὶ παρεντιθεμένου μεταξὺ αὐτῶν τοῦ σημείου τοῦ μέσου.

Οὕτως ἡ ρίζα τοῦ $9\alpha ^{6}-48\alpha ^{4}\beta ^{2}+64\alpha ^{2}\beta ^{4}$
εἶναι${\sqrt {9\alpha ^{6}}}-{\sqrt {64\alpha ^{2}\beta ^{4}}}$, ἤτοι $3\alpha ^{2}-8\alpha \beta ^{2}$
ἐπειδὴ$2\times 3\alpha ^{3}\times -8\alpha \beta ^{2}=-48\alpha ^{4}\beta ^{2}$.

Τὸ τριώνυμον $4\alpha ^{2}+12\alpha \beta -9\beta ^{2}$ δὲν εἶναι τέλειον τετράγωνον, καίτοι οἱ τρεῖς ὅροι αὐτοῦ εἶναι ἐσχηματισμένοι κατὰ τὸν νόμον τοῦ τετραγωνισμοῦ τοῦ δυωνύμου. Διότι ὁ τρίτος ὅρος $-9\beta ^{2}$ εἶναι αρνητικός.

Γʹ. Ὅταν, εἰς τὴν σειρὰν τῶν πράξεων, ὁ πρώτος ὅρος ὑπολοίπου τινος δεν ἦναι διαιρετὸς διὰ τοῦ διπλασίου τοῦ πρώτου ὅρου της ῥίζης, το πολυώνυμον δὲν εἶναι τέλειον τετράγωνον.

§ 138. Δυνάμεθα νὰ ἐφαρμόσωμεν καὶ ἐπὶ τῶν ῥιζῶν τῶν πολυωνύμων, τῶν μὴ τελείων τετραγώνων, τὰς ἁπλουστεύσεις τοῦ (§129).

Ἔστω ἡ ἔκφρασις ${\sqrt {\alpha ^{3}\beta +4\alpha ^{2}\beta ^{2}+4\alpha \beta ^{3}}}$.

Ἡ ὑπόῤῥιζος πόσότης δύναται νὰ τεθῇ ὑπὸ τὴν μορφὴν

$\alpha \beta (\alpha ^{2}+4\alpha \beta +4\beta ^{2})$

ὑπὸ τὴν ὁποίαν βλέπομεν, ὅτι ὁ ἐντὸς τῶν παρενθέσεων παράγων εἶναι τὸ τετράγωνον τοῦ $\alpha +2\beta$, ὅθεν ἡ ἀνωτέρω ἔκφρασις ἄγεται εἰς

$(\alpha +2\beta ){\sqrt {\alpha \beta }}$.

Ὑπολογισμὸς τῶν ῥιζικῶν τοῦ βʹ βαθμοῦ.

§ 139. Ἐπειδὴ εἰς τοὺς ἀλγεβρικοὺς ὑπολογισμοὺς ἀπαντῶνται συχνάκις ῥιζικαὶ ἐκφράσεις, πρέπει νὰ δείξωμεν πῶς ἐκτελοῦνται ἐπ’ αὐτῶν αἱ τέσσαρες ἀριθμιτικαὶ πράξεις.